مغالطه قمارباز

من سر انواع بازی‌های رومیزی (Board Game)

بازی اولون (Avalon): طرف ۲ دست پشت سر هم مرلین شده دست سوم رسما امکان نداره دیگه مرلین باشه پس فرض می‌کنم مرلین نیست و کلا از گزینه‌ها می‌زارمش کنار.

بازی منچ: ۴ دست هست که تاس ۶ نیاوردم. این دفعه احتمال اینکه ۶ بیاید خیلی بیشتر است.

من سر سؤال‌های ریاضی

یک سکه رو ده بار انداختیم و همه‌اش خط اومده، احتمال اینکه بار یازدهم هم خط بیاد چقدر هست؟ من: ۵۰ درصد.

از یک جایی به بعد متوجه بودم که رویکردم سر بازی‌های رومیزی و سؤال‌های ریاضی قابل جمع به نظر نیستند. اما همچنان تا حدی توجیهی می‌کردم و بین آن‌ها تفاوت قائل می‌شدم.

گذشت تا اینکه مدتی پیشسر بازی اولون استدلال کردم فلان ۲ دست قبلی فلان نقش را داشته و امکان اینکه این دست هم این نقش را داشته باشد خیلی پایین است، دوستم گفت که استدلالت اشتباه است و احتمال نقش این دست به گذشته ربطی ندارد.

من که آنجا دیگر نمی‌توانستم توجیه بیاورم حرفش را قبول کردم ولی بعد از بازی خواستم که من را شیرفهم کند چون شهودم با استدلال ریاضی سازگار نمی‌شد. توضیحات دوستم مقدار خوبی کمک کرد اما شهودم همچنان به تطابق کامل نرسیده بود.

در بازی اولون با فرض اینکه تعداد طوری باشد که همه شخصیت‌ها داخل بازی باشند. ۱۴ شخصیت داریم که یکی از آن‌ها مرلین است. اگر t0 را بگذاریم قبل از شروع اولین دست و به ترتیب t1 بعد از پایان اولین دست، t2 بعد از پایان دومین دست و الی آخر. مشکل من این بود که اگر از t0 به قضیه نگاه کنیم، اگر فرض کنیم سارا دست اول و دوم نقش مرلین را داشته، احتمال اینکه در دنیای باشیم که دست سوم هم مرلین باشد می‌شود ۱/۱۴ به توان ۳ (از زاویه t0). و خب این به نظرم خیلی کم می‌آمد و فرض می‌گرفتم دست سوم مرلین نیست.

قفل شهود من آنجایی باز شد که متوجه شدم با فرض مرلین بودن در دست اول و دوم، احتمال اینکه در دنیای باشیم که دست سوم هم مورگانا باشد باز هم می‌شود ۱/۱۴ به توان ۳ (از همان زاویه t0). من هیچ وقت به احتمال حالت‌های دیگر توجه نمی‌کردم و این قسمت آخر قفل شهود من را باز کرد. در واقع توجه نمی‌کردم نسبت اینکه سارا دست سوم مرلین بشود در عین حال که دست اول و دوم مرلین بوده نسبت به کل نقش‌هایی که دست سوم ممکن است برایش بیاید در عین حال که دست اول و دوم مرلین بوده همان ۱/۱۴ است.

یک اشتباه مشابهی که من می‌کردم هم این بود اگر اتفاقی در اطرافیانم می‌افتاد فکر می‌کردم که احتمال اتفاق افتادن دوباره آن از حالت اول از این به بعد کمتر خواهد بود. مثلا اگر در اطرافیان یک نفر شغل معلمی را انتخاب می‌کرد. با خودم فکر می‌کردم حالا احتمال اینکه یک نفر دیگر از اطرافیان من شغل معلمی را انتخاب کند پایین‌تر آمده.

اشتباه من با عنوان مغالطه قمارباز شناخته می‌شود و می‌توانید مثال‌های بیشتری را در صفحه ویکی‌پدیا مغالطه قمارباز (انگلیسی‌اش بهتر است) ببینید.

یکی از مثال‌های جالب برای من این بود اگر مسابقه‌ای را اینطور فرض کنیم که اگر فردی از شش بار انداختن تاس یک بار عدد ۱ بیاورد برنده می‌شود، هر دفعه که تاس می‌ریزد و عدد ۱ نمی‌آید شانس او برای ۱ آوردن در ادامه در حال کمتر شدن است. پس منطقی است در این مدل بازی‌ها حداقل از یک جا به بعد دیگر ادامه نداد. نه اینکه بگوییم دو بار ۱ نیاورده‌ام از الان به بعد احتمال آن بالاتر رفته. ریاضی دقیق‌تر آن را می‌توانید در صفحه ویکی‌پدیا ببینید.

با قضیه بیض هم می‌شود اثبات کرد که احتمال ۶ آمدن یک تاس بعد از ده با ۶ آمدن همچنان ۱/۶ هست. اما به نظر من اینجا قضیه بیض خیلی کار خاصی نمی‌کند. همان مستقل در نظر گرفتن احتمال است که در قضیه بیض هم به جای یکی از احتمال‌ها از آن استفاده می‌کنیم. من ریاضی نوشتن داخل وردپرس را بلد نیستم بنابراین نمی‌توانم این قسمت را خوب توضیح بدهم.

اما همچنان ۲ سؤال برای من مطرح است:

1. آیا معقول است که تعجب ما بعد از هر بار تاس ۶ آمدن بیشتر می‌شود؟ تعجب ما دفعه پنجمی که ۶ می‌آید از دفعه اول خیلی بیشتر است.
2. چطور است که ده بار پشت سر هم ۶ آمدن یک تاس به ما احتمال معقول این باور را می‌دهد که تاس یک تاس متداول منصفانه نیست یعنی احتمال آمدن هر وجه‌اش برابر با ۱/۶ نیست؟

معقول بودن تعجب

در هر مرحله احتمال آمدن ۶، ۱/۶ است. احتمال هر عدد دیگری هم ۱/۶ است. هر سری عددی هم که با پنج بار انداختن تاس بیاید احتمالش ۱/۶ به توان ۵ است. پس آیا هر مرحله که جلوتر می‌رویم بیشتر شدن تعجب معقول است؟

تغییر احتمال منصفانه بودن تاس

هر سری عددی با ده بار انداختن تاس که به دست بیاید احتمالش ۱/۶ به توان ۱۰ است پس چطور برخی از این حالت‌ها هستند که ما با مشاهده آن معقول است که باور کنیم تاس منصفانه نیست؟

من مدتی به این دو سؤال فکر کردم،‌ جوابی که راضی‌ام کند به ذهنم نرسید. کمی هم در اینترنت گشتم جایی که مستقیم و واضح در این مورد توضیح داده باشد پیدا نکردم. بنابراین سؤالم را در StackExchange مطرح کردم ولی فعلا جواب قابل قبولی نگرفته‌ام.

به نظرم می‌رسد که این دو تا سؤال به طور مستقیمی به یکدیگر مربوط هستند. یعنی اگر بیشتر شدن تعجب معقول باشد آن وقت تغییر احتمال منصفانه بودن تاس هم معقول است و همینطور برعکس. از طرفی در مورد سؤال اول شهودم می‌گوید که بیشتر شدن تعجب معقول است اما صورت‌بندی ریاضی من از آن می‌گوید معقول نیست. در مورد سؤال دوم هم دقیقا برعکس. شهودم می‌گوید اگر احتمال هر سری عددی با سری عددی دیگر مساوی است پس نباید در احتمالی که ابتدا برای منصفانه بودن تاس گرفته‌ایم اثری بگذارد. اما صورت‌بندی ریاضی که می‌کنم و با استفاده از قضیه بیض به نظر معقول است که احتمال منصفانه بودن تغییر کند.